計測エンジニアリングシステム株式会社

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COMSOL解析事例

COMSOL紹介( 導入/検討 )

計測

サブスク限定

板の単軸引っ張り問題のCOMSOLベンチマークモデル

Single-axis pulling of flat plate

目的

COMSOL解と材料力学との比較
サンブナンの原理の確認

板厚2mm, 高さ20mm,長さ100mm
右端面:境界荷重P[N] 
左端面:固定拘束
P,軸方向歪,90度方向歪をもとに固体力学を解析。
中央の数値歪ゲージ、複数断面応力分布の検討、幾何非線形を利用。

利用ソフトウェア

COMSOL Ver.5.6 固体力学

手段

JSME 計算力学技術者固体力学2級
問2-2との比較

COMSOL数値解

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サブスク限定

伝熱の創成解のCOMSOLベンチマークモデル

Method of manufactured solution

目的

創成解による伝熱解析の検証
 1) 熱源及び境界条件の数式設定の妥当性
 2) 創成解との比較による解の検証

伝熱問題

利用ソフトウェア

COMSOL Ver.5.6 基本モジュール
伝熱(ht)インターフェース

手段

下記図書の創成解との比較
山田・永井・松井:有限要素法(A First Course in Finite Elements),丸善出版
例8.4 (p.243) (2011).

創成解

${T}$(${x,y}$)=${𝑥^2+𝑦^2}$-${2a}$\(\sqrt{𝑥^2+𝑦^2}\)

COMSOL数値解
この解を与える熱源と境界条件

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二周波励起容量結合プラズマシミュレーション

プラズマ(plas)インターフェースに基づくCCPシミュレーション

二周波励起容量結合プラズマ (CCP:Capacitively Coupled Plasma) 源は、高周波電極による高密度プラズマの生成・維持と低周波電極によるイオンエネルギーの独立した制御が可能であり、またエッチング形状において優れた面内均一性を実現できるエッチャーである。現在では、多層配線内の高アスペクト比トレンチの形成等、またMEMS加工分野における深掘りRIE (Reactive Ion Etching) 技術に広く用いられており、そのプラズマの構造と特性を正確に把握することは非常に重要である。
COMSOL容量結合プラズマ (CCP) 計算専用インターフェース (プラズマ (時間周期的) (ptp) )は、二周波励起CCPシミュレーションに対して以下の制限1)があるため、実現する可能性は非常に低い。

  1. COMSOLプラズマ (時間周期的)(ptp)インターフェースは、追加の次元で周期境界条件を利用するため、周波数はそれぞれの正確な整数倍のみにすることに限っている。
  2. 二周波励起CCPリアクターの場合は、高周波の周期ごとに追加の次元で最低30メッシュ要素を確保するために、低周波の周期に数多くのメッシュ要素が必要になる。2/60 MHzである場合は、追加の次元で900メッシュ要素が必要である。そのため、コンピュータの過剰なシステムメモリを要求することがあり、計算が困難になる。

そこで本例題は従来のCCPプラズマ計算用インターフェース(プラズマ(plas))を用いて、図1に示す軸対称二次元モデル2)での計算を行った。ガスはアルゴン、温度は300K, 圧力は0.5Torr、周波数は2と27 MHz、電圧振幅は高周波電極と低周波電極の両方に200V、プロッキングキャパシターは360pFである。
本書ではモデルおよび、図3の解析結果を作成する手順を示した。

   図1. 解析モデル

計算モデルは、電子、イオンと中性粒子の輸送、空間電荷場の計算方程式を連立して計算を行うが、紙数の都合でここではこれらの方程式の説明3)を省略する。電子輸送方程式におけるソース項には電子と分子や原子の衝突によって電子密度と電子エネルギーを変化することが含まれる。反応jの反応速度係数kjは次の式で示される。

ここで、εは電子エネルギー、σj (ε)は衝突断面積、f(ε)は電子エネルギー分布関数 (EEDF),qは電子の電荷,mは電子の質量である。考慮した化学種および化学反応は表1に示されている。

図2. COMSOLの非線形
時間依存ソルバー
図2. COMSOLの非線形 時間依存ソルバー


電子エネルギー分布関数はマックスウェル、プラズマを取り囲む壁にイオン衝突によって二次電子放出係数は0.15とする4)。二次電子平均エネルギーはオージェ電子放出原理に従って、ε=εiz-2εϕ5)により計算される。ここで、εizはイオン化エネルギー, εϕは仕事関数である。CCPプラズマシミュレーションは、高度な非線形解析なので、ここではソルバーの追加設定する必要であると考えられる。図2にCOMSOLの非線形時間依存ソルバーの強連成ソルバーの設定画面を示す。ヤコビアン更新は各タイムステップから「反復毎」に切り換えた。最大反復回数とトレランス因子も調整した。
図3に2/27 MHzの二周波励起周波数CCPシミュレーション結果を示している。HFサイクル数が1000とするLFサイクル数を74になり、計算はLF=75とした。計算時間は7時間19分でした。必要なメモリ容量は2GBのみであった計算用のパソコンスペックは以下の通りである。

 1. OS:WINDOWS10
 2. CPU:Intel(R)Xeon(R)CPU E5-1660 v2@3.70GHz
 3. メモリ(RAM)128GB

  図3. 2/27MHzの二周波励起周波数CCPシミュレーション結果

参考文献

1)COMSOL Multiphysics ver.5.6 – Plasma Module User’s Guide.
2)Z. Bi, Z. Dai, Y. Zhang, D. Liu, and Y. Wang, Effects of reactor geometry and frequency coupling on dual-frequency capacitively coupled plasmas, Plasma Sources Sci. Technol., 22, 055007 (2013).
3)放電・プラズマ気相シミュレーション技法調査専門委員会編,「放電・プラズマ気相シミュレーション技法:佟立柱,竹内希,3.3 COMSOL Multiphysics®を用いた非熱プラズマと熱プラズマの計算」,電気学会技術報告第1488号,pp. 70-74 (2020).
4)S. Song and M. J. Kushner, Role of the blocking capacitor in control of ion energy distributions in pulsed capacitively coupled plasmas sustained in Ar/CF4/O2, J. Vac. Sci. Technol. A, 32, 021306 (2014).
5)M. A. Lieberman and A. J. Lichtenberg, Principle of Plasma Discharges and Materials Processing, John Wiley & Sons, New York (1994).

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ガルバニック腐食解析

内部電流を考慮したガルバニック腐食のモデリング

鉄鋼材料の腐食を防ぐ方法(防食法)には様々な種類があるが、一般的に古くから使われているものにZnメッキを用いた防食法がある。例えば、道路の標識柱や電柱、工事現場のフェンスなど、日常的に目にしているものが多い。Znメッキは溶けたZnに鋼を沈めて作る溶融メッキ法や電気を流して製造する電気メッキ法などがあり、用途によって使い分けられ表面のZnメッキの厚みも10μm程度から、100μm程度まである。Znをメッキして防食するのは、ZnがFeよりも腐食し易い卑な金属であるためで、ガルバニック(異種金属接触)腐食の典型的な例である。そこで、Zn-Feカップルでのガルバニック腐食の計算を行った例を示す。
なお、本例題は計算中に金属の溶解によるジオメトリの変形、並びに拡散層の影響も考慮している。

   図1. 解析モデルの概略図東北大学・山本正弘先生ご提供

厚み50μmのZnメッキが一部剥がれてFeが露出しているケースを想定し、図1に示した計算モデルを用いた。フィジックスインターフェースとしては、腐食解析(2次)と希釈種輸送を連成させた。電解質は、3%NaCl , pH7.0,溶存酸素濃度8ppmとし、導電率4.7 S/mである。

   図2. 分極曲線の模式図

図2に示した分極曲線のような、外部電流iはトータルの電流、内部アノード電流ia、内部カソード電流icの和である。外部電流iを測定することができるが、内部電流ia、icは直接測定することはできない1)内部分極曲線は実測されたI-V曲線から推定されることになるため、ここでは、実際の防食電流密度に基づいて、内部分極特性をモデリングする2)

本書では解析モデルおよび、図3の解析結果を作成する手順を示した。

 表1.電気化学パラメーター

図1に示したモデルにおける電極反応はZn,Feともにアノード反応があり、Zn,Feそれぞれの溶解反応
   Zn→Zn2++2e
   Fe→Fe2++2e
として、カソード反応は両極とも酸素還元反応
   O2+2H2O+4e→4OH
を考慮する。表12)に示すパラメーターをターフェル式

に与えた。
酸素の還元限界電流は希薄種輸送で拡散層を500μm厚みで設定することで考慮した。拡散層内での流速はゼロ、拡散層外では、下向きに0.1 cm/sの対流流速を設定した。希薄種輸送で計算する化学種は溶存酸素のみとし、酸素の拡散係数は、1.0×10-5cm2/sとした。

があり、uが対流流速、Rは電極表面カップリングで得られる反応速度である。
変形ジオメトリは、Zn,Fe電極表面に設定し、Znの密度7.14 g/cm3、モル重量65.38 g/mol,Feの密度7.86 g/cm3、モル重量55.85 g/molを与えた。
実際の環境では、溶液の濡れ乾きやZnの腐食生成物が表面に沈着する影響で、より溶解速度が小さくなる傾向になるが、ここでは、10日後の電解質電位・電流密度、ZnとFeの表面溶解電流密度および形状変形を図3に示している。ZnとFeの表面溶解電流密度と形状変形は大きな違いがあったことで、Znメッキにより、Feが防食されている結果が示された。

   図3. 腐食により10日後電解質 電位・電流密度、ZnとFeの表面溶解電流密度および形状変形

参考文献

1) 野田和彦,斉藤知, Ⅱ.腐食の電気化学測定法の基礎-分極曲線(電流-電位曲線), 材料と環境, Vol.67,No.1, 9-16 (2018).
2) 腐食防食協会編,「金属の腐食・防食Q&A,電気化学入門編」, 丸善 (2002).

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サブスク限定

直線導線と方形コイルとの間の相互インダクタンスを求める問題のCOMSOLベンチマークモデル

Mutual Inductance

目的

鎖交磁束と相互インダクタンスの計算
 1)線分表示による計算の妥当性
 2)解析解との比較

利用ソフトウェア

COMSOL Ver.5.6 ACDCモジュール
磁場インターフェース

手段

下記教科書の解析解との比較
電磁気学演習,電気学会大学講座、電気学会例題10.1(p.142) (2012).

解析解
COMSOL数値解

CPU時間:2分(dを1cmから5cmまで1cm間隔)

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